Aire de mathématiques

Vue d'ensemble

Vue d'ensemble de l'aire de mathématiques

Introduction

« L'apprentissage est soumis à une condition essentielle, que l'élève veuille recevoir les connaissances, qu'il puisse prêter attention, en d'autres termes, qu'il s'intéresse. Son activité psychique est la condition indispensable du succès. Tout ce qui ennuie, ce qui décourage, ce qui interrompt, se transforme en un obstacle qu'aucune préparation logique de l'enseignement ne peut surpasser.  C'est donc l'étude des conditions nécessaires au développement des activités spontanées de l'individu, c'est l'art de réveiller la joie et l'enthousiasme pour le travail, qu'il faut prendre pour objectif. Le fait de l'intérêt qui pousse à l'activité spontanée, est la véritable clé psychologique […] Celui, qui dans l'éducation réussit à susciter un intérêt qui permet de choisir une action et de la suivre avec toute son énergie, avec un enthousiasme constructif, celui-là a réveillé l'homme. […] L'homme dans lequel se réveille l'intérêt, montre souvent des énergies insoupçonnées. De la même façon, l'enfant quand il agit sous l'action de l'intérêt, révèle des capacités qui restaient latentes ou inconnues. C'est ce nouvel aspect de l'enfant intéressé qui fait changer les antiques préoccupations psychologiques et ouvre un champ plus vivant aux méthodes d'éducation.» Psycho-géométrie, Maria Montessori p15-16-17

A la Maison des enfants, l'éducateur ne pilote pas les apprentissages mais les accompagne de manière individualisée avec pour objectif de libérer les énergies créatrices de chacun. Nous n’enseignons pas les maths, de la même manière que nous n’enseignons pas la lecture, la grammaire. Pour Maria Montessori, le matériel proposé à l’enfant n’est pas seulement un matériel didactique mais il est surtout une aide au développement global de l’enfant et de sa personnalité dans le respect des périodes sensibles et des tendances humaines. Le matériel doit offrir à l’enfant la possibilité de mettre ses énergies créatrices au service de son développement. Un des premiers objectifs visés est de susciter l'intérêt de l'enfant pour provoquer le phénomène de l'attention. L’enfant a un profond besoin d’ordre, d’organiser sa perception du monde. Il faut en premier lieu générer le phénomène de l’attention qui mène à la concentration.

Le matériel doit venir rencontrer le besoin de développement de l’enfant et permettre une activité autonome qui aura un pouvoir constructeur. C’est cette dimension psychologique que Maria Montessori a voulu mettre en avant en développant ses propos dans Psycho-aritmetica et Psycho-geometrica. Cette dimension psychologique va orienter la façon dont on va présenter la géométrie et l’arithmétique à l'enfant pour lui permettre d’accéder fondamentalement à ce qu’il est.

« Le matériel externe doit donc s'offrir aux besoins psychiques comme une échelle qui, de degré en degré, aide l'enfant à monter, et sur les degrés de cette échelle doivent être disposés nécessairement les moyens de formation supérieure. Pour correspondre à son but, ce matériel doit contenir des formes toujours nouvelles et de plus en plus complexes d'objets capables de fixer l'attention, de faire mûrir l'intelligence par l'exercice continu de ses énergies propres, et de produire ces phénomènes de constance dans l'application et de patience qui contribuent à développer l'élasticité, l'équilibre psychique, ainsi que la capacité d'abstraction et de création spontanée ». Pédagogie scientifique tome 2, Maria Montessori, p79

Grâce aux différents matériels présents dans l'ambiance : matériel de vie pratique qui favorise la coordination psychomotrice et la concentration ; matériel de vie sensorielle, qui introduit des concepts et développe l'esprit logique ; matériel de langage qui permet à l'enfant de nommer, puis de lire et d'écrire... l'enfant est préparé de manière indirecte à découvrir les concepts mathématiques. Son esprit mathématique a déjà été sollicité. Cet esprit logique, qui est une caractéristique humaine, lui permet d’organiser, de préciser et de généraliser.

Le matériel de mathématiques

Le matériel de mathématiques structure la pensée de l'enfant et lui permet d’accéder à une représentation du monde encore plus précise. Il offre à l'enfant des clés d'exploration qui lui permettront de partir à sa découverte.

Les mathématiques viennent fonder notre humanité car l’homme ne peut pas être pensé en dehors de la géométrie. Les mathématiques nous constituent et structure l’univers comme l’explique Maria Montessori dans les « Cinq grandes histoires » racontées classe 6-12 ans:

• Formation de l’univers « Où suis-je ? »

• Formation du système solaire et de la Terre

• L’apparition et le développement de la vie : l’homme

• L’histoire de l’écriture

• L’histoire des mathématiques

«Dans la première période de la vie psychique, le matériel correspond aux exercices primitifs des sens... et permet un exercice de l’activité suffisante pour développer un état supérieur psychique d’observations et d’abstractions... Ensuite l’esprit ayant besoin d’exercices plus élevés, le même phénomène d’attention s’exerce désormais sur l’alphabet et le matériel d’arithmétique. Les exercices méthodiques de l'intelligence se répètent plus complexes pour... passer à l’étude positive de la quantité, de la proportion et du nombre.»

Pédagogie scientifique tome 2, Paria Montessori p80

Sur le plan psychique, l’enfant aura construit des ressources intérieures (volonté, notion d’effort, confiance en soi, autonomie), il s’essaye à être avec l’autre et cette coopération sera nécessaire pour travailler avec certains matériels en vu d’un projet commun qui dépasse l’intérêt personnel de chacun. C'est le cas avec le matériel du système décimal et la découverte sensorielle des quatre opérations (addition, soustraction, multiplication, division).

Travailler avec le système décimal est aussi crucial que de s'exercer avec l’alphabet mobile entre 4 ans et 4 ans et demi. Ce sont des bases fondamentales qui vont permettre à l'enfant de s'investir dans les activités mathématiques. L’objectif recherché avec le matériel d’un point du vue arithmétique est le cheminement vers le calcul mental, c’est-à-dire la capacité d’effectuer mentalement des calculs simples sans avoir besoin d’artifices (par exemple les doigts ou les tables). L’enfant acquiert ainsi un premier niveau d’adaptation : à 6 ans, à la Maison des Enfants, il sait lire, écrire et compter.

Qu’est-ce que compter ? Compter, c’est :

• Dénombrer, c’est à dire nommer et ordonner des objets d’une collection. (Concept de l’unité et du nombre en tant que X fois l’unité et du 0). Quand je dis 4, je garde le souvenir de 3, de 2 et de 1.

• Avoir acquis la numération de position (le 1er plateau du système décimal).

• Additionner (capacité à faire des opérations et à mettre ensemble).

• Savoir faire des opérations (mentalement).

Pour dénombrer, nous devons acquérir deux concepts fondamentaux :

• L’unité (les barres) qui est un représentant avec lequel nous comptons.

• La représentation du 0 (les fuseaux) qui symbolise le rien permet la numération de position.

Les activités mathématiques selon Maria Montessori

Le besoin d'activité avec un but défini

Les enfants ont un besoin fondamental d'activité mais un besoin d'activité qui a un but défini. Toutes les activités proposées doivent avoir un but défini. Ce but est essentiel pour favoriser la répétition et la concentration.

La découverte sensorielle

Au début de l'école orthophrénique de Rome, Maria Montessori faisait des leçons. Elle constata très vite que les enfants ne les retenaient pas.  Avec le matériel d'Itard et de Seguin, et la manipulation, Maria Montessori découvre que les enfants accèdent à la compréhension grâce au matériel. Plus l'enfant manipule et plus il entre dans la compréhension des choses. Les impressions sensorielles permettent la construction de la confiance chez l'enfant. Si l'on donne aux enfants des distinctions claires qui isolent et analysent les différentes impressions que l'enfant peut recevoir de l'environnement alors on contribue à la construction claire et analytique de l'intelligence.  On va donc offrir aux enfants des objets qui analysent les impressions.

La perméabilité d'enfant à enfant

Maria Montessori remarque que le matériel n'a pas besoin d'être présenté à chaque enfant. En pratique, une diffusion dans le groupe existe car les enfants s'observent. Maria Montessori appelle ce phénomène une « perméabilité d'enfant à enfant ». cf « les neurones miroirs » de Giacomo Rizzolatti / Corrado Sinigaglia ; le fait d'observer est déjà un processus d'apprentissage.

Favoriser l'autonomie

Les enfants aiment travailler seuls sans être interrompus et sans être assistés par les adultes.

Proposer aux enfants des activités complexes

Les enfants aiment s'investir dans des activités que les adultes considèrent comme difficiles. Ils aiment « le challenge ». A partir de là, elle constate que l'enfant va répéter ; si l'activité n'est pas difficile, ils ne vont pas la répéter. La répétition a une valeur fondamentale cachée ; fonction essentielle dans le développement de l'enfant. Elle déduit que cette signification est d'autant plus importante qu'ils sortent de la répétition, calmes et apaisés.

Du matériel sensoriel vers l'abstraction

A San Lorenzo, Maria M. introduit le matériel de vie sensorielle : matériel qui apporte la dimension de l'abstraction. Chaque matériel renferme une idée abstraite. Elle découvre que l'abstraction ne se transmet pas mais que c'est un phénomène qui émerge quand l'enfant est prêt. Par rapport au langage, elle réduit la longueur des leçons à un seul mot. Dans les leçons en 3 temps, elle s'attache uniquement à nommer l'expérience sensorielle que l'enfant fait en manipulant (grand, petit etc.). Le passage à l’abstraction c’est l’aube du 2^ème plan de développement (abstraction et imagination). L’enfant se détache du matériel pour s’appuyer sur ses propres ressources mentales. En lecture on appelle ça la lecture totale, en math le calcul mental. On part dans une approche sensorielle pour arriver à une approche intellectuelle dans une gradation de complexité.

Préparation indirecte aux activités de mathématiques

Préparation indirecte

La préparation indirecte : ce n’est pas juste une idée linéaire, un lien de cause à effet. La finalité est le développement du potentiel humain et sur ce chemin les connaissances vont être admises. Le programme c’est le développement de l’être humain, pas les connaissances.  Les voies empruntées pour la préparation indirecte : le raffinement du mouvement et la capacité de réflexion. Ces 2 voies sont nourries grâce au matériel de vis pratique et au matériel sensoriel.

A /Le matériel de vie pratique contient des préparations indirectes au travail des mathématiques :

-      l’ordre, le code couleur

La complexité  (réfléchir pour atteindre un but, développement de la pensée logique, ) Il ne se dédie pas à l’organisation matérielle de l’activité (tout le matériel est déjà là) mais il fait.  Le cercle au sol pour balayer est une aide matérielle car il ne peut le concevoir seul dans sa tête. Plus tard il n’en aura plus besoin. Ce point de rassemblement mental se construit. Plier des étoffes et du papier : préparation indirecte à la géométrie mais aussi les équivalences. Verser de l’eau et le découpage, préparation indirecte à la fraction. • Raffinement du geste, coordination des mouvements au service de la construction intellectuelle : geste défini.

• Progression sur le chemin de la concentration par des activités de plus en plus longues et complexes. Cet état de concentration est un pré requis pour aborder le matériel sensoriel et de mathématiques.

• Répondre à la période sensible de l’ordre : développement l’esprit logique (placement plateau, enchaînement des gestes) qui participe à la construction de l’esprit mathématique pour permettre ensuite des comparaisons, des déductions...

• Développer la volonté, la persévérance dans les activités longues qui permettent et encouragent à l’enfant à maintenir son effort : nécessaire pour les longues activités de mathématique.

• Préparation indirecte aux équivalences (verser), opérations (partager avec les verser), fractions (avec pliage tissu et papier)

C’est par l’action justement coordonnée, répétée que va se construire la pensée logique.

Le phénomène de la concentration est en soi la préparation indirecte aux mathématiques. Les exercices de vie pratiques sont fondamentaux. C’est le socle pour pouvoir accéder aux messages contenus dans le matériel sensoriel et mathématique.

B/ Le matériel sensoriel est aussi une préparation indirecte aux mathématiques

-      rapport de 1 à 10

La gradation (distinguer les différences et l’identique, position relative, on évalue des évolutions des différences, des comparaisons relatives et une vision d’ensemble) • Cheminer vers l’abstraction par le raffinement des sens

• Développement de l'esprit logique avec les activités de mise en paire, gradation pour préciser, distinguer, généraliser.

• Les concepts révélés par le matériel sensoriel préparent l’enfant à accéder aux abstractions mathématiques de plus en plus complexes.

• Introduction indirecte à l’algèbre (cubes, table de Pythagore) et à la géométrie (cabinet, solides, triangles constructeurs).

Ce sont des activités nécessaires à la compréhension de l’unité et du nombre.

Avec le matériel de langage

• Nommer et formuler est un vecteur de précision et d’ordre

• Prendre conscience de l’élaboration d’un langage et de sa structure : chiffre forme des nombres, signes des opérations, lecture des opérations...

• Préparation physique, intellectuelle et psychique aux chiffres (traçage des chiffres rugueux).

•   1^er temps - La préparation indirecte

Activités invisibles pour l'enfant mais qui permettent à l'enfant de se préparer intérieurement à une activité plus complexe. Construction à l’insu de l'enfant. Préparation par absorption, par construction (visser dévisser) But : Préparer à une habileté qui s'exprimera dans un temps autre.

•   2^ème temps - Le temps de la formation latente de la connaissance

C'est le temps de digestion, de maturation, le temps de la formation intérieure avant le phénomène d'émergence.

•   3^ème temps - Le point de conscience

C'est le temps de l'émergence ; l'enfant prend conscience qu'il peut lire, écrire, compter. Personne ne connaît ce moment. L'éducateur ne peut pas agir sur le point de conscience.

(Grand travail de l'éducateur sur temps 1 et 2. La réalisation du temps 3 appartient à l'enfant.)

Ce qui intéresse Maria Montessori, c'est « la face cachée de l'enfant », sa nature profonde, l'être qui « sommeille » en l'enfant. Pour elle, le travail de l'éducateur est de : « réveiller les énergies intérieures de l'enfant ». Son travail fut de découvrir par quelles voies les enfants cheminent en lien avec leur développement ; comment construisent-ils leur humanité?

Maria Montessori choisit de préparer des environnements qui vont permettre aux enfants de conquérir et d'accéder à un certain nombre d'abstractions. Pas de programme établi en 3/6 ans, elle préconise surtout la construction d'un environnement adapté. Ceci est vrai pour des enfants normalisés mais tant que l'enfant n'est pas normalisé, qu'il n'est pas capable de suivre son « maître intérieur », le travail de l'éducateur consiste à le guider et à l'accompagner dans ses projets. L'émergence d'une abstraction est le résultat d'une expérience individuelle et le temps nécessaire à cette réalisation va varier d'un individu à un autre. L'intérêt de l'enfant pour une activité n'est pas déterminé par les éducateurs mais par les périodes sensibles.

L'éducateur doit s'efforcer d'amener l'enfant à « s'intéresser à... » mais le déclic vient de l'enfant et uniquement de l'enfant. Le matériel est un catalyseur. L'ensemble du matériel transforme des réalités complexes en éléments simples et isolés les uns des autres. Exemple : les dimensions / le matériel isole cette réalité avec des cubes et on permet à l'enfant de classifier ces cubes ; ce qui constitue la base de ce que Maria Montessori a appelé « l'esprit mathématiques ».

Pour conclure : toutes les activités que l'enfant réalise sont des manifestations psychiques quelles qu'elles soient, en connexion avec la formation et l'organisation de son intelligence et le but de notre travail est de contribuer à cette organisation psychique et à la construction de  l'intelligence grâce à des moyens appropriés : principalement l'environnement et le matériel.

Si Maria Montessori a choisi de parler de psycho-arithmétique, de psycho-géométrie, de psycho-grammaire, c'est que pour elle l’arithmétique, la géométrie et la grammaire sont inhérents à la nature humaine. L'homme et l'univers sont géométriques et mathématiques. Ces connaissances sont intrinsèques à la nature humaine et donc introduites au moment des périodes sensibles.

Cheminer vers le calcul mental

6 groupes d'activités

Groupe 1 : Dénombrer de 1 à 10

4 concepts fondamentaux présentés dans ce groupe : unité, nombre, zéro, pair, impair

Activité 1	Les barres numériques	Introduire le concept d'unité et le concept du nombre.
Activité 2	Les chiffres rugueux	Introduire l'écriture et la lecture des chiffres rugueux A chaque nombre correspond un symbole. Un chiffre peut être à la fois un chiffre et un nombre.(Ne pas présenter le zéro tout de suite)
Activité 3	Association des symboles et des quantités	Associer chiffres et barres numériques
Activité 4	Les fuseaux	Introduire le concept du zéro
Activité 5	Le jeu des jetons	Introduire le concept pair - impair
Activité 6	Le jeu de mémoire	Panier avec des tickets de 1 à 9 Étape qui permet de vérifier la compréhension du nombre chez l'enfant.

Groupe 2 : introduction du système décimal, les 4 opérations

Le système décimal introduit la numération de position. Un chiffre va prendre une valeur différente en fonction de la position qu'il occupe dans la formation du nombre. Plus il est situé à gauche et plus il a une valeur importante. Numération de position possible grâce à l'introduction du zéro. Système décimal choisi par les hommes à cause de leurs 10 doigts.

Activité 1	Présentation du système décimal : quantités	1er plateau : introduction sensorielle de unité, dizaine, centaine, millier avec des perles
Activité 2	Présentation du système décimal : symboles	Introduction des symboles : 1, 10,100, 1000
Activité 3	Association symboles et quantités	2ème plateau du système décimal : formation des grand nombres
Activité 4	Introduction des opérations	Introduction de la fonction de chacune des opérations  avec du matériel sensoriel : l'addition, la soustraction, la multiplication, la division
Activité 5	Les timbres	Reprise des 4 opérations en introduisant l'écriture des opérations avec leurs signes
Activité 6	La table des points	Mise en évidence du mécanisme de la retenue

Groupe 3 : Groupe sémantique (acquisition de vocabulaire mathématiques)

Présentation du troisième groupe d'exercices en parallèle au groupe 2 :

Activité 1	Première table de Seguin	Dénombrer de 11 à 19
Activité 2	Deuxième table de Seguin	Dénombrer de 11 à 99
Activité 3	Chaîne de 100	Compter jusqu'à 100
Activité 4	Chaîne de 1000	Compter jusqu'à 1000
Activité 5	Compter en sautant...	Grand tableau

En parallèle l'enfant continue à apprendre à lire, à apprendre la musique...

Groupe 4 : Mémorisation (en parallèle de l'introduction de la grammaire)

Détour impératif = mémoriser les combinaisons /apprendre les tables par répétition.

Tables de mémorisation de l'addition, de la soustraction, de la multiplication et de la division.

La mémorisation de certains résultats est indispensable pour se détacher du matériel. Elle permet de voir la relation des opérations entre elles : commutativité de certaines opérations... permet un vrai travail d’exploration des opérations.

Les tables : donner les clés nécessaires et suffisante pour ne pas encombrer l’esprit avec des choses inutiles.

Groupe 5 : Passage à l'abstraction : petits et grands bouliers

Encore de la manipulation mais avec l’écriture de l’opération et la mobilisation des tables, l’enfant peut faire directement certains calculs et écrire le résultat sur la feuille. il prend conscience qu’il peut ainsi se passe du matériel. Renforcement de la notion de position avec les grands nombres.

Groupe 6 : Les fractions : introduction sur les chiffres décimaux

Introduction sensorielle dès 3 ans avec des puzzles. Les caractéristiques du matériel

Le matériel de mathématiques contient la préparation indirecte qui se révélera plus tard. L’ensemble du matériel analyse des réalités complexes en éléments simples et isolés, les unes des autres. Cela permet de développer et de constituer les bases de ce que Maria Montessori appelle « l’esprit mathématique». Ce sont ces bases qui vont aider à cheminer vers l’abstraction. Cet esprit mathématique est une caractéristique de l’être humain.

✴ Universel : qualité intrinsèque du matériel doit répondre à l’ordre mathématique, il est donc par essence mathématique ; il s’adresse donc à la nature humaine. Il doit répondre aux périodes sensibles (raffinement sensoriel, mouvement, langage, ordre et développement social). Le matériel de mathématiques a aussi pour objectif de répondre aux besoins de développement de l’enfant.

✴ Scientifique & étalonné : chaque matériel doit conserver ce caractère universel et répondre aux lois de développement naturel ; il doit être étalonné en fonction du phénomène de l’attention, c’est-à-dire susciter au maximum le phénomène de l’attention chez l’enfant.

✴ Isoler une qualité unique : un seul paramètre de variation qui permet de guider l’activité de l’enfant. Les objets doivent être identiques en tout, sauf pour une qualité qui varie. Ainsi l’enfant se construit une pensée claire, analytique et ordonnée.

✴ Esthétique : appelle à l’activité, au toucher

✴ Favoriser l’auto-activité : la puissance du matériel dépendra de la capacité d’auto-activité de l’enfant (manipulation, exploration).

✴ Contrôle de l’erreur : pour construire son intelligence à travers la manipulation l’enfant est guidé par le contrôle de l’erreur. Il est parfois mécanique, il est très souvent sensoriel. L’enfant doit travailler de manière autonome ; il n’est pas là pour soumettre son travail au regard de l’adulte, et l’adulte n’est pas là pour le valider.

✴ Unique : un seul exemplaire de chaque matériel pour éviter la compétition entre enfant et permettre la distanciation : gestion de la frustration, de l’attente.

✴ Sensoriel : par l’exploration, l’enfant développe progressivement un état psychique d’observation et d’abstraction.

✴ Limité en quantité : la sur stimulation apporte la confusion; l’enfant doit ordonner ses perceptions pour arriver à l’abstraction.

✴ Progressif : pour permettre à l’enfant de s’investir et de satisfaire ses besoins.

La numération de 0 à 9

🔨 Les barres numériques

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Les barres numériques

🔨 Les chiffres rugueux

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Les chiffres rugueux

🔨 L'association des barres numériques et des symboles

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L'association des barres numériques et des symboles

🔨 Les fuseaux

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Les fuseaux

🔨 Le jeu des jetons (pair, impair)

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Le jeu des jetons (pair, impair)

🔨 Le jeu de mémoire des nombres

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Le jeu de mémoire des nombres

Le système décimal

🔨 Le premier plateau : présentation des quantités

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Le premier plateau : présentation des quantités

🔨 Les symboles

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Les symboles

🔨 L'association quantités / symboles

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L'association quantités / symboles

🔨 Le deuxième plateau : la formation des grands nombres

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Le deuxième plateau : la formation des grands nombres

🔨 L'addition avec le système décimal

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L'addition avec le système décimal

🔨 La soustraction avec le système décimal

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La soustraction avec le système décimal

🔨 La multiplication avec le système décimal

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La multiplication avec le système décimal

🔨 La division avec le système décimal

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La division avec le système décimal

🔨 Les timbres

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Les timbres

🔨 La table des points

🔨

La table des points

La numération de 11 à l'infini

🔨 La numération de 11 à 19 : les perles de couleur

🔨

La numération de 11 à 19 : les perles de couleur

🔨 La première table de Seguin

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La première table de Seguin

🔨 La deuxième table de Seguin

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La deuxième table de Seguin

🔨 La chaîne de 100

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La chaîne de 100

🔨 La chaîne de 1000

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La chaîne de 1000

🔨 Les chaînes des carrés (compter en sautant) + carrés

🔨

Les chaînes des carrés (compter en sautant) + carrés

🔨 Les chaînes des cubes (compter en sautant) + cubes

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Les chaînes des cubes (compter en sautant) + cubes

La mémorisation

🔨 Le serpent de l'addition

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Le serpent de l'addition

🔨 Le tableau de l'addition

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Le tableau de l'addition

🔨 Les tables de mémorisation de l'addition 1, 2, 3, 4

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Les tables de mémorisation de l'addition 1, 2, 3, 4

🔨 Le serpent de la soustraction

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Le serpent de la soustraction

🔨 Le tableau de la soustraction

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Le tableau de la soustraction

🔨 Les tables de mémorisation de la soustraction 1 et 2

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Les tables de mémorisation de la soustraction 1 et 2

🔨 Les perles de couleur (mémorisation de la multiplication)

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Les perles de couleur (mémorisation de la multiplication)

🔨 Le tableau de la multiplication

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Le tableau de la multiplication

🔨 Les tables de mémorisation de la multiplication 1, 2, 3

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Les tables de mémorisation de la multiplication 1, 2, 3

🔨 Le tableau de la division

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Le tableau de la division

🔨 Les tables de mémorisation de la division 1 et 2

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Les tables de mémorisation de la division 1 et 2

Le passage à l'abstraction

🔨 Le petit boulier

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Le petit boulier

🔨 Le matériel des hiérarchies

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Le matériel des hiérarchies

🔨 Le grand boulier

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Le grand boulier

🔨 Les fractions

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Les fractions

🔨 La grande division

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La grande division

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